Elija un sistema de coordenadas rectangular en el plano y grafiquemos los valores del argumento en el eje de abscisas NS, y en ordenadas - los valores de la función y = f (x).
Gráfico de función y = f (x) es el conjunto de todos los puntos cuyas abscisas pertenecen al dominio de la función, y las ordenadas son iguales a los valores correspondientes de la función.
En otras palabras, la gráfica de la función y = f (x) es el conjunto de todos los puntos del plano, coordenadas NS, a que satisfacen la relación y = f (x).
En la Fig. 45 y 46 son gráficas de funciones y = 2x + 1 y y = x 2 - 2x.
Estrictamente hablando, se debe distinguir entre el gráfico de la función (cuya definición matemática exacta se dio anteriormente) y la curva dibujada, que siempre da solo un bosquejo más o menos preciso del gráfico (e incluso entonces, como regla, no todo el gráfico, sino solo su parte ubicada en la parte final del plano). En lo que sigue, sin embargo, normalmente diremos "gráfico" en lugar de "gráfico esquemático".
Usando la gráfica, puedes encontrar el valor de una función en un punto. Es decir, si el punto x = a pertenece al dominio de la función y = f (x), luego para encontrar el número f (a)(es decir, los valores de la función en el punto x = a) usted debe hacer esto. Es necesario a través de un punto con abscisa. x = a dibuja una línea recta paralela a la ordenada; esta línea se intersecará con la gráfica de la función y = f (x) en un punto; la ordenada de este punto será, en virtud de la definición del gráfico, igual a f (a)(figura 47).
Por ejemplo, para la función f (x) = x 2 - 2x usando la gráfica (Fig.46) encontramos f (-1) = 3, f (0) = 0, f (1) = -l, f (2) = 0, etc.
El gráfico de funciones ilustra claramente el comportamiento y las propiedades de una función. Por ejemplo, considerando la Fig. 46 es claro que la función y = x 2 - 2x toma valores positivos en NS< 0 y en x> 2, negativo - en 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x toma en x = 1.
Para trazar la función f (x) necesitas encontrar todos los puntos del plano, coordenadas NS,a que satisfacen la ecuación y = f (x)... En la mayoría de los casos, esto no se puede hacer, ya que hay infinitos puntos de este tipo. Por lo tanto, la gráfica de la función se representa aproximadamente, con más o menos precisión. El más simple es el método de gráficos multipunto. Consiste en el hecho de que el argumento NS dar un número finito de valores - digamos, x 1, x 2, x 3, ..., x k y hacer una tabla que contenga los valores seleccionados de la función.
La tabla se ve así:
Habiendo compilado dicha tabla, podemos delinear varios puntos del gráfico de la función y = f (x)... Luego, conectando estos puntos con una línea suave, obtenemos una vista aproximada de la gráfica de la función y = f (x).
Sin embargo, cabe señalar que el método de trazado multipunto es muy poco fiable. De hecho, se desconoce el comportamiento de la gráfica entre los puntos designados y su comportamiento fuera del segmento entre el extremo de los puntos tomados.
Ejemplo 1... Para trazar la función y = f (x) alguien hizo una tabla de valores de argumentos y funciones:
Los cinco puntos correspondientes se muestran en la Fig. 48.
Con base en la ubicación de estos puntos, concluyó que la gráfica de la función es una línea recta (mostrada en la Fig. 48 con una línea de puntos). ¿Puede esta conclusión considerarse confiable? Si no hay consideraciones adicionales para apoyar esta conclusión, difícilmente puede considerarse confiable. de confianza.
Para fundamentar nuestra afirmación, considere la función
.
Los cálculos muestran que los valores de esta función en los puntos -2, -1, 0, 1, 2 se describen en la tabla anterior. Sin embargo, el gráfico de esta función no es en absoluto una línea recta (se muestra en la Fig. 49). Otro ejemplo es la función y = x + l + senπx; sus valores también se describen en la tabla anterior.
Estos ejemplos muestran que el método de gráficos multipunto puro no es confiable. Por lo tanto, para construir un gráfico de una función dada, como regla, proceda de la siguiente manera. Primero, estudiamos las propiedades de esta función, con la que puedes construir un boceto de la gráfica. Luego, calculando los valores de la función en varios puntos (cuya elección depende de las propiedades establecidas de la función), se encuentran los puntos correspondientes del gráfico. Y, finalmente, se dibuja una curva a través de los puntos construidos utilizando las propiedades de esta función.
Algunas propiedades (las más simples y de uso frecuente) de las funciones utilizadas para encontrar un bosquejo de un gráfico, las consideraremos más adelante, y ahora analizaremos algunos de los métodos de trazado más utilizados.
La gráfica de la función y = | f (x) |.
A menudo tienes que trazar una función y = | f (x)|, donde f (x) - función dada. Recordemos cómo se hace esto. Por la definición del valor absoluto de un número, puede escribir
Esto significa que la gráfica de la función y = | f (x) | se puede obtener del gráfico, función y = f (x) de la siguiente manera: todos los puntos de la gráfica de la función y = f (x) para los que las ordenadas no son negativas, deben dejarse sin cambios; además, en lugar de los puntos de la gráfica de la función y = f (x) con coordenadas negativas, debes construir los puntos correspondientes de la gráfica de la función y = -f (x)(es decir, parte de la gráfica de la función
y = f (x) que se encuentra debajo del eje NS, debe reflejarse simétricamente sobre el eje NS).
Ejemplo 2. Función de gráfico y = | x |.
Tomamos la gráfica de la función y = x(Fig.50, a) y parte de este gráfico en NS< 0 (acostado debajo del eje NS) reflejan simétricamente sobre el eje NS... Como resultado, obtenemos la gráfica de la función y = | x |(Figura 50, b).
Ejemplo 3... Función de gráfico y = | x 2 - 2x |.
Primero, grafiquemos la función y = x 2 - 2x. La gráfica de esta función es una parábola, cuyas ramas están dirigidas hacia arriba, el vértice de la parábola tiene coordenadas (1; -1), su gráfica interseca el eje de abscisas en los puntos 0 y 2. En el intervalo (0; 2 ), la función toma valores negativos, por lo tanto, esta parte del gráfico se refleja simétricamente sobre el eje de abscisas. La Figura 51 muestra la gráfica de la función y = | x 2 -2x | basado en la gráfica de la función y = x 2 - 2x
Gráfica de la función y = f (x) + g (x)
Considere el problema de graficar la función y = f (x) + g (x). si se dan gráficas de funciones y = f (x) y y = g (x).
Tenga en cuenta que el dominio de la función y = | f (x) + g (x) | es el conjunto de todos aquellos valores de x para los que se definen ambas funciones y = f (x) e y = g (x), es decir, este dominio es la intersección de los dominios, funciones f (x) y g ( X).
Deja los puntos (x 0, y 1) y (x 0, y 2) pertenecen respectivamente a los gráficos de funciones y = f (x) y y = g (x), es decir, y 1 = f (x 0), y 2 = g (x 0). Entonces el punto (x0;. Y1 + y2) pertenece a la gráfica de la función y = f (x) + g (x)(por f (x 0) + g (x 0) = y 1 + y2),. y cualquier punto en la gráfica de la función y = f (x) + g (x) se puede obtener de esta manera. Por tanto, la gráfica de la función y = f (x) + g (x) se puede obtener a partir de gráficos de funciones y = f (x)... y y = g (x) reemplazando cada punto ( x n, y 1) gráficos de funciones y = f (x) punto (x n, y 1 + y 2), dónde y 2 = g (x n), es decir, por el desplazamiento de cada punto ( x n, y 1) gráfico de funciones y = f (x) a lo largo del eje a por la cantidad y 1 = g (x n). En este caso, solo se consideran tales puntos NS n para el que se definen ambas funciones y = f (x) y y = g (x).
Este método de graficar una función y = f (x) + g (x) se llama la suma de las gráficas de las funciones y = f (x) y y = g (x)
Ejemplo 4... En la figura, al agregar gráficos, se traza un gráfico de la función
y = x + senx.
Al trazar la función y = x + senx creímos que f (x) = x, a g (x) = senx. Para trazar el gráfico de la función, seleccione puntos con abscisas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5 ,, 1.5, 2. Valores f (x) = x, g (x) = senx, y = x + senx calcular en los puntos seleccionados y colocar los resultados en la tabla.
La construcción de gráficos de funciones que contienen módulos suele causar considerables dificultades a los escolares. Sin embargo, las cosas no están tan mal. Es suficiente memorizar varios algoritmos para resolver tales problemas, y puede construir fácilmente un gráfico, incluso el más en apariencia. función compleja... Veamos cuáles son estos algoritmos.
1. Graficar la función y = | f (x) |
Tenga en cuenta que el conjunto de valores de las funciones y = | f (x) | : y ≥ 0. Por lo tanto, las gráficas de tales funciones siempre se ubican completamente en el semiplano superior.
Graficando la función y = | f (x) | consta de los siguientes cuatro pasos simples.
1) Construya con precisión y cuidado la gráfica de la función y = f (x).
2) No modifique todos los puntos del gráfico que estén por encima del eje 0x o sobre él.
3) La parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x, se muestra simétricamente con respecto al eje 0x.
Ejemplo 1. Muestre la gráfica de la función y = | x 2 - 4x + 3 |
1) Construimos una gráfica de la función y = x 2 - 4x + 3. Obviamente, la gráfica de esta función es una parábola. Encuentra las coordenadas de todos los puntos de intersección de la parábola con los ejes de coordenadas y las coordenadas del vértice de la parábola.
x 2 - 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Por lo tanto, la parábola interseca el eje 0x en los puntos (3, 0) y (1, 0).
y = 0 2 - 4 0 + 3 = 3.
Por tanto, la parábola corta el eje 0y en el punto (0, 3).
Coordenadas del vértice de la parábola:
x pulgada = - (- 4/2) = 2, y pulgada = 2 2 - 4 2 + 3 = -1.
Por tanto, el punto (2, -1) es el vértice de esta parábola.
Dibuja una parábola usando los datos recibidos (Figura 1)
2) La parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x se muestra simétricamente con respecto al eje 0x.
3) Obtenemos la gráfica de la función original ( arroz. 2, representado por una línea de puntos).
2. Graficando la función y = f (| x |)
Tenga en cuenta que las funciones de la forma y = f (| x |) son pares:
y (-x) = f (| -x |) = f (| x |) = y (x). Esto significa que las gráficas de tales funciones son simétricas con respecto al eje 0y.
Trazar la función y = f (| x |) consta de la siguiente cadena simple de acciones.
1) Construya una gráfica de la función y = f (x).
2) Deje la parte de la gráfica para la cual x ≥ 0, es decir, la parte de la gráfica ubicada en el semiplano derecho.
3) Muestre la parte del gráfico indicada en el párrafo (2) simétricamente al eje 0y.
4) Seleccione la unión de las curvas obtenidas en los párrafos (2) y (3) como gráfico final.
Ejemplo 2. Muestre la gráfica de la función y = x 2 - 4 · | x | + 3
Dado que x 2 = | x | 2, entonces la función original se puede reescribir de la siguiente manera: y = | x | 2 - 4 · | x | + 3. Ahora podemos aplicar el algoritmo propuesto anteriormente.
1) Construimos con precisión y cuidado la gráfica de la función y = x 2 - 4 x + 3 (ver también arroz. 1).
2) Dejamos esa parte de la gráfica para la cual x ≥ 0, es decir, la parte de la gráfica ubicada en el semiplano derecho.
3) Muestre el lado derecho del gráfico simétricamente al eje 0y.
(Fig. 3).
Ejemplo 3. Muestre la gráfica de la función y = log 2 | x |
Aplicamos el esquema dado arriba.
1) Grafique la función y = log 2 x (figura 4).
3. Graficar la función y = | f (| x |) |
Tenga en cuenta que las funciones de la forma y = | f (| x |) | también son parejos. De hecho, y (-x) = y = | f (| -x |) | = y = | f (| x |) | = y (x), y por lo tanto, sus gráficas son simétricas con respecto al eje 0y. El conjunto de valores de tales funciones: y ≥ 0. Por lo tanto, las gráficas de tales funciones están ubicadas completamente en el semiplano superior.
Para trazar la función y = | f (| x |) |, necesita:
1) Construya con precisión la gráfica de la función y = f (| x |).
2) Deje sin cambios la parte del gráfico que está arriba o en el eje 0x.
3) La parte del gráfico, ubicada debajo del eje 0x, se muestra simétricamente con respecto al eje 0x.
4) Seleccione la unión de las curvas obtenidas en los párrafos (2) y (3) como gráfico final.
Ejemplo 4. Muestre la gráfica de la función y = | -x 2 + 2 | x | - 1 |.
1) Tenga en cuenta que x 2 = | x | 2. Por tanto, en lugar de la función original y = -x 2 + 2 | x | - 1
puedes usar la función y = - | x | 2 + 2 | x | - 1, ya que sus gráficas son las mismas.
Construimos una gráfica y = - | x | 2 + 2 | x | - 1. Para esto usamos el algoritmo 2.
a) Grafique la función y = -x 2 + 2x - 1 (figura 6).
b) Deja la parte de la gráfica que se encuentra en el semiplano derecho.
c) Muestre la parte resultante del gráfico simétricamente al eje 0y.
d) El gráfico resultante se muestra en la figura con una línea de puntos. (figura 7).
2) No hay puntos por encima del eje 0x, dejamos los puntos en el eje 0x sin cambios.
3) La parte del gráfico ubicada debajo del eje 0x se muestra simétricamente alrededor de 0x.
4) El gráfico resultante se muestra en la figura con una línea de puntos. (figura 8).
Ejemplo 5. Construya una gráfica de la función y = | (2 | x | - 4) / (| x | + 3) |
1) Primero, necesitas graficar la función y = (2 | x | - 4) / (| x | + 3). Para hacer esto, regresamos al algoritmo 2.
a) Grafique cuidadosamente la función y = (2x - 4) / (x + 3) (figura 9).
Tenga en cuenta que esta función es lineal-fraccional y su gráfica es una hipérbola. Para trazar la curva, primero debe encontrar las asíntotas del gráfico. Horizontal - y = 2/1 (la razón de los coeficientes en x en el numerador y denominador de la fracción), vertical - x = -3.
2) Deje la parte del gráfico arriba o en el eje 0x sin cambios.
3) La parte del gráfico, ubicada debajo del eje 0x, se mostrará simétricamente alrededor de 0x.
4) El gráfico final se muestra en la figura. (figura 11).
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Describamos las propiedades de esta función:
1.x es la variable independiente, y es la variable dependiente.
2. Dominio de definición: es obvio que para cualquier valor del argumento (x), se puede calcular el valor de la función (y). En consecuencia, el dominio de esta función es la recta numérica completa.
3. Rango de valores: y puede ser cualquier cosa. En consecuencia, el rango de valores también es la recta numérica completa.
4. Si x = 0, entonces y = 0.
1. Creemos una tabla de valores:
2. Para valores positivos de x, la gráfica de la función $ y = x ^ 3 $ es muy similar a una parábola, cuyas ramas están más "presionadas" al eje OY.
3. Dado que para valores negativos x la función $ y = x ^ 3 $ tiene significados opuestos, entonces la gráfica de la función es simétrica con respecto al origen.
Ahora marquemos puntos en el plano de coordenadas y construyamos un gráfico (vea la Fig. 1).
Esta curva se llama parábola cúbica.
I. El pequeño barco está completamente terminado. agua dulce... Es necesario traer suficiente agua de la ciudad. El agua se pide por adelantado y se paga por un cubo completo, incluso si lo llena con un poco menos. ¿Cuántos cubos necesita pedir para no pagar de más por un metro cúbico adicional y llenar completamente el tanque? Se sabe que el tanque tiene la misma longitud, ancho y alto, que son iguales a 1,5 m. Resolvamos este problema sin hacer ningún cálculo.
Solución:
1. Grafiquemos la función $ y = x ^ 3 $.
2. Encuentre el punto A, la coordenada x, que es igual a 1.5. Vemos que la coordenada de la función está entre los valores 3 y 4 (ver Fig. 2). Entonces necesitas pedir 4 cubos.
Trazar funciones es una de las características de Excel. En este artículo, veremos el proceso de graficar algunas funciones matemáticas: proporcionalidad lineal, cuadrática e inversa.
Una función es un conjunto de puntos (x, y) que satisfacen la expresión y = f (x). Por lo tanto, necesitamos completar una matriz de tales puntos, y Excel trazará una función para nosotros basada en ellos.
1) Considere un ejemplo de graficar una función lineal: y = 5x-2
La gráfica de una función lineal es una línea recta que se puede trazar desde dos puntos. Vamos a crear una señal
En nuestro caso, y = 5x-2. En la celda con el primer valor. y introduzcamos la fórmula: = 5 * D4-2... En otra celda, la fórmula se puede ingresar de la misma manera (cambiando D4 sobre D5) o utilice un marcador de autocompletar.
Como resultado, obtenemos un plato:
Ahora puede comenzar a crear el gráfico.
Elija: INSERTAR -> PUNTO -> PUNTO CON CURVAS Y MARCADORES SUAVES (recomiendo usar este tipo particular de gráfico)
Aparece un área de gráfico vacía. Presione el botón SELECT DATA
Seleccionemos los datos: un rango de celdas en abscisas (x) y ordenadas (y). Como nombre de la serie, podemos ingresar la función en sí entre comillas "y = 5x-2" o algo más. Esto es lo que sucedió:
Haga clic en Aceptar. Ante nosotros hay una gráfica de una función lineal.
2) Considere el proceso de construir una gráfica de una función cuadrática - parábola y = 2x 2 -2
Ya no se puede construir una parábola usando dos puntos, a diferencia de una línea recta.
Establecer el espaciado en el eje X, sobre la que se construirá nuestra parábola. Elegiré [-5; 5].
Daré un paso. Cuanto menor sea el paso, más preciso será el gráfico trazado. Voy a elegir 0,2 .
Lleno la columna con valores NS usando el marcador de autocompletar hasta el valor x = 5.
Columna de valores a calculado por la fórmula: = 2 * B4 ^ 2-2. Usando el marcador de autocompletar, calcule los valores a para otros NS.
Seleccione: INSERTAR -> PUNTO -> PUNTO CON CURVAS Y MARCADORES LISOS y actúe de la misma manera que traza una función lineal.
Para evitar puntos en el gráfico, cambie el tipo de gráfico a PUNTO CON CURVAS LISAS.
Cualquier otra gráfica de funciones continuas se construye de la misma manera.
3) Si la función es por partes, entonces es necesario combinar cada "parte" del gráfico en un área de los diagramas.
Veamos el ejemplo de la función y = 1 / x.
La función se define en los intervalos (- infinito; 0) y (0; + infinito)
Creemos una gráfica de la función en los intervalos: [-4; 0) y (0; 4].
Preparemos dos placas, donde x cambia con un paso 0,2 :
Encontrar los valores de la función de cada argumento NS similar a los ejemplos anteriores.
Debe agregar dos filas al diagrama, para la primera y la segunda placa, respectivamente.
Obtenemos la gráfica de la función y = 1 / x
Además, aquí hay un video, que muestra el procedimiento descrito anteriormente.
El siguiente artículo le mostrará cómo crear gráficos 3D en Excel.
¡Gracias por la atención!
