Calcular el área de una forma- Este es quizás uno de los problemas más difíciles de la teoría de áreas. En la escuela de geometría, enseñan a encontrar las áreas de formas geométricas básicas como, por ejemplo, un triángulo, rombo, rectángulo, trapecio, círculo, etc. Sin embargo, a menudo tiene que lidiar con el cálculo de las áreas de formas más complejas. Es al resolver tales problemas que es muy conveniente utilizar el cálculo integral.
Definición.
Trapezoide curvo se llama una figura G, limitada por las rectas y = f (x), y = 0, x = a y x = b, y la función f (x) es continua en el segmento [a; b] y no cambia su signo. (Figura 1). El área de un trapecio curvo se puede designar como S (G).
La integral definida ʃ a b f (x) dx para la función f (x), que es continua y no negativa en el intervalo [а; b], y es el área del trapezoide curvo correspondiente.
Es decir, para encontrar el área de la figura G, delimitada por las rectas y = f (x), y = 0, x = a y x = b, es necesario calcular la integral definida ʃ abf (x) dx.
Por lo tanto, S (G) = ʃ una segundo f (x) dx.
Si la función y = f (x) no es positiva en [a; b], entonces el área de un trapezoide curvo se puede encontrar mediante la fórmula S (G) = -ʃ una segundo f (x) dx.
Ejemplo 1.
Calcula el área de la figura delimitada por las líneas y = x 3; y = 1; x = 2.
Solución.
Las líneas especificadas forman la figura ABC, que se muestra sombreando en arroz. 2.
El área deseada es igual a la diferencia entre las áreas del trapezoide curvo DACE y el cuadrado DABE.
Usando la fórmula S = ʃ y b f (x) dx = S (b) - S (a), encontramos los límites de integración. Para hacer esto, resolvemos un sistema de dos ecuaciones:
(y = x 3,
(y = 1.
Por lo tanto, tenemos x 1 = 1 - el límite inferior y x = 2 - el límite superior.
Entonces, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4/4 | 1 2 - 1 = (16 - 1) / 4 - 1 = 11/4 (Unidades cuadradas).
Respuesta: 11/4 pies cuadrados. unidades
Ejemplo 2.
Calcula el área de la figura delimitada por las líneas y = √x; y = 2; x = 9.
Solución.
Las líneas dadas forman una figura ABC, que está delimitada desde arriba por la gráfica de la función
y \ u003d √x, y debajo del gráfico de la función y \ u003d 2. La figura resultante se muestra sombreando en arroz. 3.
El área requerida es S = ʃ a b (√x - 2). Encontremos los límites de integración: b = 9, para encontrar a, resolvemos el sistema de dos ecuaciones:
(y = √x,
(y = 2.
Por lo tanto, tenemos que x = 4 = a - este es el límite inferior.
Entonces, S = ∫ 4 9 (√x - 2) dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x | 4 9 - 2x | 4 9 = (18 - 16/3) - (18 - 8) = 2 2/3 (Unidades cuadradas).
Respuesta: S = 2 2/3 sq. unidades
Ejemplo 3.
Calcula el área de la figura delimitada por las líneas y = x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.
Solución.
Construyamos una gráfica de la función y = x 3 - 4x para x ≥ 0. Para hacer esto, encontramos la derivada y ':
y ’= 3x 2 - 4, y’ = 0 en x = ± 2 / √3 ≈ 1.1 son puntos críticos.
Si representamos los puntos críticos en el eje numérico y ordenamos los signos de la derivada, obtenemos que la función disminuye de cero a 2 / √3 y aumenta de 2 / √3 a más infinito. Entonces x = 2 / √3 es el punto mínimo, el valor mínimo de la función es min = -16 / (3√3) ≈ -3.
Definamos los puntos de intersección del gráfico con los ejes de coordenadas:
si x = 0, entonces y = 0, lo que significa que A (0; 0) es el punto de intersección con el eje Oy;
si y = 0, entonces x 3 - 4x = 0 o x (x 2 - 4) = 0, o x (x - 2) (x + 2) = 0, de donde x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (no adecuado ya que x ≥ 0).
Los puntos A (0; 0) y B (2; 0) son los puntos de intersección del gráfico con el eje Ox.
Las líneas especificadas forman una forma de OAB, que se muestra sombreando en arroz. 4.
Dado que la función y = x 3 - 4x toma (0; 2) significado negativo, luego
S = | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx |.
Tenemos: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx = (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 = -4, de donde S = 4 sq. unidades
Respuesta: S = 4 pies cuadrados. unidades
Ejemplo 4.
Encuentre el área de la figura limitada por la parábola y = 2x 2 - 2x + 1, las rectas x = 0, y = 0 y la tangente a esta parábola en el punto con la abscisa x 0 = 2.
Solución.
Primero, componimos la ecuación de la tangente a la parábola y = 2x 2 - 2x + 1 en el punto con la abscisa x₀ = 2.
Dado que la derivada y ’= 4x - 2, entonces en x 0 = 2 obtenemos k = y’ (2) = 6.
Encuentre la ordenada del punto en contacto: y 0 = 2 2 2 - 2 2 + 1 = 5.
Por lo tanto, la ecuación de la tangente tiene la forma: y - 5 = 6 (x - 2) o y = 6x - 7.
Dibujemos una forma delimitada por líneas:
y = 2x 2 - 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x - 7.
G y = 2x 2 - 2x + 1 - parábola. Puntos de intersección con los ejes de coordenadas: A (0; 1) - con el eje Oy; con el eje del Buey - no hay puntos de intersección, porque la ecuación 2x 2 - 2x + 1 = 0 no tiene soluciones (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, es decir, el vértice del punto B de la parábola tiene coordenadas B (1/2; 1/2).
Entonces, la figura cuya área desea determinar se muestra sombreando en arroz. 5.
Tenemos: S О A В D = S OABC - S ADBC.
Encuentre las coordenadas del punto D a partir de la condición:
6x - 7 = 0, es decir x = 7/6, entonces DC = 2 - 7/6 = 5/6.
El área del triángulo DBC se calcula mediante la fórmula S ADBC = 1/2 DC BC. Por lo tanto,
S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 pies cuadrados unidades
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) dx = (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 = 10/3 (Unidades cuadradas).
Finalmente, obtenemos: S О A В D = S OABC - S ADBC = 10/3 - 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (unidades cuadradas).
Respuesta: S = 1 1/4 pies cuadrados unidades
Hemos analizado ejemplos encontrar las áreas de las figuras limitadas líneas dadas ... Para resolver con éxito tales problemas, debe poder construir líneas y gráficos de funciones en el plano, encontrar los puntos de intersección de las líneas, aplicar una fórmula para encontrar el área, lo que implica la presencia de habilidades y habilidades para calcular ciertas integrales.
sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.
En la sección anterior, dedicada al análisis del significado geométrico de una integral definida, obtuvimos una serie de fórmulas para calcular el área de un trapezoide curvilíneo:
S (G) = ∫ a b f (x) d x para una función continua y no negativa y = f (x) en el segmento [a; B],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x para una función continua y no positiva y = f (x) en el segmento [a; B].
Estas fórmulas son aplicables para resolver problemas relativamente simples. De hecho, a menudo tenemos que trabajar con formas más complejas. En este sentido, dedicaremos esta sección al análisis de algoritmos para calcular el área de figuras que están limitadas por funciones de forma explícita, es decir, como y = f (x) o x = g (y).
TeoremaSean las funciones y = f 1 (x) y y = f 2 (x) definidas y continuas en el segmento [a; b] y f 1 (x) ≤ f 2 (x) para cualquier valor de x de [a; B]. Entonces, la fórmula para calcular el área de la figura G delimitada por las líneas x = a, x = b, y = f 1 (x) y y = f 2 (x) tendrá la forma S (G) = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx.
Se aplicará una fórmula similar para el área de la figura delimitada por las líneas y = c, y = d, x = g 1 (y) yx = g 2 (y): S (G) = ∫ cd ( g 2 (y) - g 1 (y) dy.
Prueba
Consideremos tres casos para los que la fórmula será válida.
En el primer caso, teniendo en cuenta la propiedad de la aditividad del área, la suma de las áreas de la figura G original y el trapezoide curvilíneo G 1 es igual al área de la figura G 2. Esto significa que
Por lo tanto, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Podemos hacer la última transición usando la tercera propiedad de la integral definida.
En el segundo caso, se cumple la siguiente igualdad: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx
La ilustración gráfica se verá así:
Si ambas funciones no son positivas, obtenemos: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. La ilustración gráfica se verá así:
Pasemos a la consideración del caso general cuando y = f 1 (x) y y = f 2 (x) intersecan el eje O x.
Los puntos de intersección se denotarán como x i, i = 1, 2 ,. ... ... , n - 1. Estos puntos dividen el segmento [a; b] en n partes x i - 1; x yo, yo = 1, 2 ,. ... ... , n, donde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Por eso,
S (G) = ∑ yo = 1 norte S (Sol yo) = ∑ yo = 1 norte ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx = = ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx
Podemos hacer la última transición usando la quinta propiedad de la integral definida.
Ilustremos el caso general en el gráfico.
La fórmula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x puede considerarse probada.
Y ahora pasemos a un análisis de ejemplos de cálculo del área de figuras que están delimitadas por las líneas y = f (x) y x = g (y).
Comenzaremos a considerar cualquiera de los ejemplos construyendo un gráfico. La imagen nos permitirá representar formas complejas como combinaciones de formas más simples. Si trazar gráficos y formas en ellos le causa dificultad, puede estudiar la sección sobre funciones atómicas básicas, transformación geométrica de gráficos de funciones y trazar mientras explora una función.
Ejemplo 1
Es necesario determinar el área de la figura, que está limitada por la parábola y = - x 2 + 6 x - 5 y las rectas y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Solución
Dibujemos las líneas en la gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.
En el segmento [1; 4] la gráfica de la parábola y = - x 2 + 6 x - 5 está ubicada sobre la línea recta y = - 1 3 x - 1 2. En este sentido, para obtener una respuesta, utilizamos la fórmula obtenida anteriormente, así como el método para calcular una integral definida según la fórmula de Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2-9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2-9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2-9 2 1 = = - 64 3 + 152 3-18 + 1 3-19 6 + 9 2 = 13
Respuesta: S (G) = 13
Veamos un ejemplo más complejo.
Ejemplo 2
Es necesario calcular el área de la figura, que está delimitada por las líneas y = x + 2, y = x, x = 7.
Solución
En este caso, solo tenemos una línea recta paralela al eje de abscisas. Esto es x = 7. Esto requiere que encontremos el segundo límite de integración por nuestra cuenta.
Construyamos una gráfica y dibujemos en ella las líneas dadas en el enunciado del problema.
Teniendo la gráfica frente a nuestros ojos, podemos determinar fácilmente que el límite inferior de integración será la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la línea recta y = x y la semiparábola y = x + 2. Para encontrar la abscisa, usamos las igualdades:
y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З
Resulta que la abscisa del punto de intersección es x = 2.
Llamamos su atención sobre el hecho de que en ejemplo general en el dibujo, las líneas y = x + 2, y = x se cruzan en el punto (2; 2), por lo que estos cálculos detallados pueden parecer redundantes. Hemos proporcionado una solución tan detallada aquí solo porque en casos más complejos la solución puede no ser tan obvia. Esto significa que las coordenadas de la intersección de líneas siempre se calculan mejor analíticamente.
En el intervalo [2; 7] la gráfica de la función y = x está ubicada encima de la gráfica de la función y = x + 2. Apliquemos la fórmula para calcular el área:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) dx = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Respuesta: S (G) = 59 6
Ejemplo 3
Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las gráficas de las funciones y = 1 x y y = - x 2 + 4 x - 2.
Solución
Dibujemos líneas en el gráfico.
Definamos los límites de la integración. Para hacer esto, determinamos las coordenadas de los puntos de intersección de las líneas igualando las expresiones 1 x y - x 2 + 4 x - 2. Siempre que x no sea cero, la igualdad 1 x = - x 2 + 4 x - 2 se vuelve equivalente a la ecuación del tercer grado - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 con coeficientes enteros. Puede refrescar su memoria del algoritmo para resolver tales ecuaciones consultando la sección "Resolver ecuaciones cúbicas".
La raíz de esta ecuación es x = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0.
Dividiendo la expresión - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 por el binomio x - 1, obtenemos: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Podemos encontrar las raíces restantes de la ecuación x 2-3 x - 1 = 0:
x 2-3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Encontramos el intervalo x ∈ 1; 3 + 13 2, en el que la figura G se encierra encima de la línea azul y debajo de la roja. Esto nos ayuda a determinar el área de la forma:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Respuesta: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Ejemplo 4
Es necesario calcular el área de la figura, que está limitada por las curvas y = x 3, y = - log 2 x + 1 y el eje de abscisas.
Solución
Pongamos todas las líneas en el gráfico. Podemos obtener la gráfica de la función y = - log 2 x + 1 a partir de la gráfica y = log 2 x, si la colocamos simétricamente sobre el eje de abscisas y la levantamos una unidad. La ecuación de abscisas es y = 0.
Marquemos los puntos de intersección de las líneas.
Como puede verse en la figura, las gráficas de las funciones y = x 3 y y = 0 se intersecan en el punto (0; 0). Esto se debe a que x = 0 es la única raíz real de la ecuación x 3 = 0.
x = 2 es la única raíz de la ecuación - log 2 x + 1 = 0, por lo tanto, las gráficas de las funciones y = - log 2 x + 1 e y = 0 se cruzan en el punto (2; 0).
x = 1 es la única raíz de la ecuación x 3 = - log 2 x + 1. En este sentido, las gráficas de las funciones y = x 3 e y = - log 2 x + 1 se cruzan en el punto (1; 1). La última afirmación puede no ser obvia, pero la ecuación x 3 = - log 2 x + 1 no puede tener más de una raíz, ya que la función y = x 3 es estrictamente creciente, y la función y = - log 2 x + 1 es estrictamente decreciente.
Una solución adicional asume varias opciones.
Opción número 1
Podemos representar la figura G como la suma de dos trapezoides curvilíneos ubicados sobre el eje de abscisas, el primero de los cuales se ubica debajo de la línea central en el segmento x ∈ 0; 1, y el segundo está debajo de la línea roja en el segmento x ∈ 1; 2. Esto significa que el área será S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.
Opción número 2
La figura G se puede representar como la diferencia de dos figuras, la primera de las cuales se encuentra por encima del eje de abscisas y por debajo de la línea azul en el segmento x ∈ 0; 2, y el segundo está entre las líneas roja y azul en el segmento x ∈ 1; 2. Esto nos permite encontrar el área de la siguiente manera:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
En este caso, para encontrar el área, tendrá que usar una fórmula de la forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De hecho, las líneas que delimitan la forma se pueden representar como funciones del argumento y.
Resuelva las ecuaciones y = x 3 y - log 2 x + 1 para x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Obtenemos el área requerida:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2-0 4 4 = - 1 ln 2-1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2-1 4
Respuesta: S (G) = 1 en 2-1 4
Ejemplo 5
Es necesario calcular el área de la figura, que está delimitada por las líneas y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Solución
Con la línea roja, dibuje en el gráfico la línea especificada por la función y = x. Dibuja la línea y = - 1 2 x + 4 en azul y dibuja la línea y = 2 3 x - 3 en negro.
Marquemos los puntos de intersección.
Encuentra los puntos de intersección de las gráficas de las funciones y = x y y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2-4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20-144 2 = 4 Comprueba: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 no tengo una solución x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 i s e r t e r s ⇒ (4; 2) punto de intersección i y = x y y = - 1 2 x + 4
Encuentra el punto de intersección de las gráficas de las funciones y = x y y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2-4 x + 9 ⇔ 4 x 2-45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Compruebe: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1-3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 Tengo una solución ⇒ (9; 3) punto de intersección y = xey = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1-3 = 2 3 9 4-3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 sin solución
Encuentre la intersección de las rectas y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6; 1 ) el punto de intersección y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3
Método número 1
Imaginemos el área de la figura requerida como la suma de las áreas de las figuras individuales.
Entonces el área de la figura es igual a:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9-2 3 6 3 2-6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Método número 2
El área de la forma original se puede considerar como la suma de las otras dos formas.
Luego resolveremos la ecuación de la recta con respecto ax, y solo después aplicaremos la fórmula para calcular el área de la figura.
y = x ⇒ x = y 2 línea roja y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 línea negra y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8
Por tanto, el área es igual a:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = 7 4 y 2-7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2-7 4 2-7 4 1 2-7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Como puede ver, los valores son los mismos.
Respuesta: S (G) = 11 3
Para encontrar el área de una figura, que está limitada por las líneas dadas, necesitamos construir líneas en un plano, encontrar sus puntos de intersección, aplicar la fórmula para encontrar el área. En esta sección, examinamos las opciones de tareas más comunes.
Si nota un error en el texto, selecciónelo y presione Ctrl + Enter
Área: el área es una medida del tamaño de una superficie. En matemáticas, el área de una figura es un concepto geométrico, del tamaño de una figura plana. El área de la superficie es una característica numérica de una superficie. Plaza en arquitectura, abierta ... ... Wikipedia
Cuadrado- Este término tiene otros significados, consulte Área (significados). Área Dimensión L² Unidades de medida SI m² ... Wikipedia
Área de un triángulo- Notación estándar Triángulo es el polígono más simple con 3 vértices (esquinas) y 3 lados; parte del plano delimitada por tres puntos que no se encuentran en una línea recta, y tres segmentos que conectan estos puntos en pares. Los vértices del triángulo ... Wikipedia
Plaza Lenin (Petrozavodsk)- Plaza Lenin Petrozavodsk ... Wikipedia
Área (en geometría)- Área, una de las cantidades básicas asociadas a las formas geométricas. En los casos más simples, se mide por el número de cuadrados unitarios que llenan una figura plana, es decir, cuadrados con un lado igual a una unidad de longitud. El cálculo de P. ya estaba en la antigüedad ... ...
CUADRADO- una de las características cuantitativas de las formas y superficies geométricas planas. El área de un rectángulo es igual al producto de las longitudes de dos lados adyacentes. El área de una figura escalonada (es decir, una que se puede dividir en varias adyacentes a ... ... Diccionario enciclopédico grande
AREA (en geometría)- AREA, una de las características cuantitativas de las formas y superficies geométricas planas. El área de un rectángulo es igual al producto de las longitudes de dos lados adyacentes. El área de una figura escalonada (es decir, una que se puede dividir en varias ... ... diccionario enciclopédico
CUADRADO- AREA, cuadrados, antes. sobre el área y (obsoleto) en el área, pl. y cuadrados, esposas. (libro). 1. La parte del plano delimitada por una línea discontinua o curva (geom.). El área del rectángulo. El área de una figura curva. 2.unidades solamente. Espacio,… … Diccionario explicativo Ushakova
Área (arquitecto.)- Un espacio, abierto, organizado arquitectónicamente, enmarcado por edificios, estructuras o espacios verdes, un espacio que forma parte del sistema de otros espacios urbanos. Los precursores de la P. urbana fueron los patios ceremoniales del palacio y ... Gran enciclopedia soviética
Plaza de la memoria (Tyumen)- Memory Square Tyumen Información general ... Wikipedia
Teorema 1.
El área de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado.
Demostremos que el área S de un cuadrado de lado a es igual a 2. Tome un cuadrado de lado 1 y divídalo en n cuadrados iguales como se muestra en la Figura 1: Teorema de la figura del área geométrica.
Foto 1.
Dado que el lado del cuadrado es 1, el área de cada cuadrado pequeño es. El lado de cada cuadrado pequeño es igual, es decir es igual a a. Resulta que. Se demuestra el teorema.
Teorema 2.
El área de un paralelogramo es igual al producto de su lado por la altura dibujada en este lado (Fig.2):
S = a * h.
Sea ABCD un paralelogramo dado. Si no es un rectángulo, entonces una de sus esquinas A o B es nítida. Sea, para mayor precisión, el ángulo A agudo (Fig. 2).
Figura 2.
Suelta la perpendicular AE desde el vértice A hasta la línea CB. El área del trapezoide AECD es igual a la suma de las áreas del paralelogramo ABCD y el triángulo AEB. Suelta el DF perpendicular desde el vértice D a la línea CD. Entonces el área del trapezoide AECD es igual a la suma de las áreas del rectángulo AEFD y el triángulo DFC. Los triángulos rectangulares AEB y DFC son iguales, lo que significa que tienen áreas iguales. De ello se deduce que el área del paralelogramo ABCD es igual al área del rectángulo AEFD, es decir es igual a AE * AD. Segmento AE: la altura del paralelogramo bajado al lado AD y, por lo tanto, S = a * h. Se demuestra el teorema.
Teorema 3
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su lado por la altura dibujada.(Fig. 3.):
Figura 3.
Prueba.
Sea ABC un triángulo dado. Agregámoslo al paralelogramo ABCD, como se muestra en la figura (Figura 3.1.).
Figura 3.1.
El área de un paralelogramo es igual a la suma de las áreas de los triángulos ABC y CDA. Dado que estos triángulos son iguales, el área del paralelogramo es el doble del área del triángulo ABC. La altura del paralelogramo correspondiente al lado CB es igual a la altura del triángulo dibujado en el lado CB. Esto implica la afirmación del teorema, que se demuestra.
Teorema 3.1.
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de sus dos lados por el seno del ángulo entre ellos.(Figura 3.2.).
Figura 3.2.
Prueba.
Introduzcamos un sistema de coordenadas con origen en el punto C de modo que B se encuentre en el semieje positivo C x y el punto A tenga una ordenada positiva. El área de un triángulo dado se puede calcular usando la fórmula, donde h es la altura del triángulo. Pero h es igual a la ordenada del punto A, es decir h = b sen C. En consecuencia ,. Se demuestra el teorema.
Teorema 4.
El área del trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases por la altura(figura 4).
Figura 4.
Prueba.
Sea ABCD un trapezoide dado (figura 4.1.).
Figura 4.1.
La diagonal AC de un trapezoide lo divide en dos triángulos: ABC y CDA.
Por lo tanto, el área del trapezoide es igual a la suma de las áreas de estos triángulos.
El área del triángulo ACD es igual al área del triángulo ABC es igual a. Las alturas AF y CE de estos triángulos son iguales a la distancia h entre las líneas paralelas BC y AD, es decir, la altura del trapezoide. Por eso, . Se demuestra el teorema.
Las áreas de las figuras son de gran importancia en geometría, como en ciencia. Después de todo, el área es una de las cantidades más importantes en geometría. Sin conocimiento de áreas, es imposible resolver muchos problemas geométricos, probar teoremas, fundamentar axiomas. Los cuadrados de las figuras fueron de gran importancia hace muchos siglos, pero no han perdido su importancia en mundo moderno... Los conceptos de área se utilizan en muchas profesiones. Se utilizan en la construcción, el diseño y muchas otras actividades humanas. De esto podemos concluir que sin el desarrollo de la geometría, en particular los conceptos de áreas, la humanidad no habría podido hacer un avance tan grande en el campo de la ciencia y la tecnología.
El conocimiento de cómo medir la Tierra se remonta a la antigüedad y evolucionó gradualmente hacia la ciencia de la geometría. Esta palabra se traduce del idioma griego - "topografía".
La medida de la longitud y el ancho de un área plana de la Tierra es el área. En matemáticas, generalmente se denota con la letra latina S (del inglés "cuadrado" - "área", "cuadrado") o la letra griega σ (sigma). S denota el área de una figura en un plano o el área de la superficie de un cuerpo, y σ es el área de la sección transversal de un cable en física. Estos son los principales símbolos, aunque puede haber otros, por ejemplo, en el campo de la resistencia de los materiales, A es el área de la sección transversal del perfil.
En contacto con
Conociendo las áreas de formas simples, puede encontrar los parámetros de formas más complejas.... Los matemáticos antiguos desarrollaron fórmulas mediante las cuales se pueden calcular fácilmente. Tales figuras son un triángulo, cuadrilátero, polígono, círculo.
Para encontrar el área de una figura plana compleja, se divide en muchas figuras simples, como triángulos, trapecios o rectángulos. Luego, por métodos matemáticos, se deriva una fórmula para el área de esta figura. Se utiliza un método similar no solo en geometría, sino también en análisis matemático para calcular las áreas de figuras delimitadas por curvas.
Comencemos con la forma más simple: un triángulo. Son rectangulares, isósceles y equiláteros. Tome cualquier triángulo ABC con lados AB = a, BC = by AC = c (∆ ABC). Para encontrar su área, recordemos los teoremas de senos y cosenos conocidos del curso de matemáticas de la escuela. Liberando todos los cálculos, llegamos a las siguientes fórmulas:
Sea un cuadrilátero ABCD con AB = a, BC = b, CD = c, AD = d. Para encontrar el área S de un 4-gon arbitrario, debe dividirlo por la diagonal en dos triángulos, cuyas áreas S1 y S2 generalmente no son iguales.
Luego, usando las fórmulas, calcúlelas y súmelas, es decir, S = S1 + S2. Sin embargo, si un 4-gon pertenece a una determinada clase, entonces su área se puede encontrar usando las fórmulas conocidas anteriormente:
Para encontrar el área de un n-gon, los matemáticos lo dividen en los triángulos de figuras iguales más simples, encuentran el área de cada uno de ellos y luego los suman. Pero si el polígono pertenece a la clase de los regulares, entonces use la fórmula:
S = anh / 2 = a² n / = P² /, donde n es el número de vértices (o lados) del polígono, a es el lado de un n-gon, P es su perímetro, h es una apotema, es decir , un segmento dibujado desde el centro del polígono a uno de sus lados en un ángulo de 90 °.
Un círculo es un polígono perfecto con un número infinito de lados.... Necesitamos calcular el límite de la expresión de la derecha en la fórmula para el área de un polígono con el número de lados n tendiendo al infinito. En este caso, el perímetro del polígono se convertirá en la circunferencia de un círculo de radio R, que será el límite de nuestro círculo, y será igual a P = 2 π R. Sustituya esta expresión en la fórmula anterior. Nosotros recibiremos:
S = (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sen (180 ° / n)).
Encontremos el límite de esta expresión como n → ∞. Para hacer esto, tenga en cuenta que lim (cos (180 ° / n)) cuando n → ∞ es igual a cos 0 ° = 1 (lim es el signo del límite), y lim = lim cuando n → ∞ es igual a 1 / π (traducimos la medida en grados a radianes usando la relación π rad = 180 °, y aplicamos el primer límite notable lim (sin x) / x = 1 cuando x → ∞). Sustituyendo los valores obtenidos en la última expresión de S, llegamos a la conocida fórmula:
S = π² R² 1 (1 / π) = π R².
Se utilizan unidades del sistema y que no son del sistema... Las unidades del sistema se refieren al SI (Sistema internacional). Es un metro cuadrado (metro cuadrado, m²) y unidades derivadas de él: mm², cm², km².
V milímetros cuadrados(mm²), por ejemplo, mida el área de sección transversal de cables en ingeniería eléctrica, en centímetros cuadrados (cm²) - secciones transversales de una viga en mecánica estructural, en metros cuadrados (m²) - apartamentos o casas, en kilómetros cuadrados (km²) - áreas en geografía.
Sin embargo, a veces también se utilizan unidades de medida no sistémicas, como: tejido, ar (a), hectárea (ha) y acre (ac). Aquí están las siguientes relaciones:
